연산 구조를 보존한다는 것의 의미

 

어떤 군 G(R, +) 와 H(R+, *)가 있다고 합시다. 우리는 어떤 목표하에 이 둘이 정확하게 같은 수학적인 구조를 가진다는 것을 보이고자 합니다. 즉, 사람이 바라보는 이름표가 다를 뿐, 추상의 세계에서는 정확하게 동일함을 보이고 싶은겁니다. 유용함을 생각해본다면 어떤 구조를 좀 더 보기 편한 다른 구조로 치환해서 생각할 수 있기도 하겠죠.

 

Set에서는 두 개의 Set이 구조적으로 동일하다는 의미를 단순하게 갯수가 같음을 통해 이야기할 수 있습니다. A, B, C가 있고 ㄱ,ㄴ,ㄷ이 있다면 그 둘은 추상적으로 같은 구조입니다. 왜냐면 A는 ㄱ, B는 ㄴ, C는 ㄷ으로 짝을 지어서 이야기하면 되기 때문이죠. 이렇게 같은 개수의 원소에 짝을 지어주는 방법을 대수의 세계에서는 Bijective function이라고 이름을 붙였습니다. 

 

다시 G(R, +)와 H(R+, *)의 이야기로 돌아와서 생각을 해봅니다. 어떤 방법으로 G와 H가 같다고! 주장할 수 있을까요? 아까 한 것처럼 G에 있는 모든 요소들을 H에 있는 것들로 짝을 지을 수 있어야 합니다. 가장 먼저 G의 R과 H의 R+를 짝지어봅니다. 뭔가 어떤 mapping을 떠올려서 f:Rg -> Rh 인 일대일 함수 f를 생각하면 될 것 같습니다. 어떤 f가 있을 지 생각해보세요. 이대로 만족하고 싶지만, 군에는 +와 *라는 연산이 있습니다. 연산은 군 안에 있는 요소들의 관계를 의미합니다. 1+2=3의 의미는 1과 2와 3이 관계를 맺고 있다는 의미가 됩니다. f라는 mapping은 1과 2와 3의 관계를 그대로 전달할 수 있을까요? 

 

잠깐, 1과 2와 3의 관계를 그대로 전달한다는 것은 무슨 의미일까요? G와 H가 완전히 같다는 것은, 각 오브젝트가 서로 짝을 맺고 있으며, 각 연산이 정확히 동일한 구조로 요소들을 연결하고 있다는 의미입니다. G의 1, 2, 3을 H의 세계로 보내면 f(1), f(2), f(3)가 됩니다. 이들은 G의 연산을 통해 동일하게 연결되어야 합니다. 즉, f(1) * f(2) = f(3)가 되어야 하죠. 여기서, f(3)은 f(1 + 2)가 됩니다. 결국, f가 연산의 구조를 보존한다는 것은 f(1+2)  = f(1) * f(2) 가 성립한다는 말이 됩니다. 

 

조금 헷갈린다면, G 안에 있는 모든 요소들을 H 안에 있는 모든 요소와 f를 이용해 짝을 지었다고 생각합니다. G 안의 요소들은 + 라는 연산을 통해 각자 관계를 맺고 있습니다. 구조가 같다고 얘기하려면 f로 짝지은 대상들도 *라는 연산을 통해 똑같이 관계를 맺고 있어야 합니다. G에서 a와 b와 c가 관계를 맺고 있다면, H에서 f(a)와 f(b)와 f(c)도 관계를 맺고 있어야 합니다.

그걸 풀어서 쓰면 a + b = c 이고 f(a) * f(b) = f(c) 가 됩니다. 스스로 그림을 그려보고 아래 그림과 비교해보세요.